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医用画像情報学

MTFの測り方（エッジ法・スリット法とプリサンプルドMTF）

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X線画像の「ボケ」は、見た目で語っているかぎり主観のままです。MTF（Modulation Transfer Function、変調伝達関数）は、そのボケを空間周波数ごとの数値に置き換えたもので、装置の解像特性を客観的に比べるための共通言語になっています。

国家試験の医用画像情報学では、MTF は最頻出のテーマです。ただし聞かれ方には強いクセがあります。「MTF とは何か」を素直に問う問題はむしろ少数で、出題はどうやって測るのか（エッジ法・スリット法）と、なぜエッジをわずかに傾けるのか（プリサンプルドMTF）に集中しています。

この記事では、空間周波数の数え方から測定手順、そしてプリサンプルドMTFとデジタルMTFの違いまでを順に追います。モダリティごとのやさしい入門は「CT画質の物理評価」「一般撮影の画質」にあります。

空間周波数：1 mm に縞が何組入るか

空間周波数の定義空間周波数の定義を示した図。白と黒の縞のチャートで、線1本の幅は白も黒も0.8ミリメートルである。白1本と黒1本を合わせて1周期と数えるので、1周期は0.8掛ける2で1.6ミリメートル。空間周波数は1割る1周期の長さで、1割る1.6で0.625すなわち約0.6サイクル毎ミリメートルになる。選択肢には2倍の値である1.2サイクル毎ミリメートルが引っ掛けとして置かれている。サイクル毎ミリメートルとLP毎ミリメートルは同じ意味である。画素100マイクロメートルのFPDならナイキスト周波数は5サイクル毎ミリメートルである。空間周波数：白1本＋黒1本で「1 周期」1周期の長さの逆数が、空間周波数白と黒の縞（ラインペア）白＋黒 で 1 周期（1.6 mm）線1本の幅は、白も黒も 0.8 mm計算空間周波数 ＝ 1 ÷ 1周期の長さ1周期 ＝ 0.8 × 2 ＝ 1.6 mm1 ÷ 1.6 ＝ 0.625 ≒ 0.6 cycles/mm注意：選択肢には、2倍の値（1.2 cycles/mm）が引っ掛けとして置かれているcycles/mm と LP/mm は同じ意味画素 100 µm（0.1 mm）の FPD なら、ナイキスト周波数は 5 cycles/mm0.6 cycles/mm はかなり太い縞。5 cycles/mm は 0.1 mm の細さにあたる
白1本＋黒1本で 1 周期。空間周波数は 1周期の長さの逆数。cycles/mm と LP/mm は同じ意味。

空間周波数は、縞の細かさを表す量です。単位は cycles/mm（サイクル毎ミリメートル）で、LP/mm（ラインペア毎ミリメートル）とまったく同じ意味です。

つまずきやすいのは「1周期」の取り方です。白い線1本と黒い線1本を合わせて1周期と数えます。線1本ではありません。

空間周波数は、1周期の長さの逆数です。

空間周波数=11周期の長さ=12d\text{空間周波数} = \frac{1}{\text{1周期の長さ}} = \frac{1}{2d}

dd は線1本の幅です。たとえば d=0.8d = 0.8 mm なら、1周期は 0.8×2=1.60.8 \times 2 = 1.6 mm。したがって

11.6=0.625≒0.6 cycles/mm\frac{1}{1.6}=0.625 \fallingdotseq 0.6\ \text{cycles/mm}

選択肢には、線1本を1周期と数えた2倍の値（1.2 cycles/mm）が引っ掛けとして用意されています。引っかからないように注意しましょう。

桁の感覚もつかんでおきましょう。画素 100 µm（0.1 mm）の FPD なら、記録できる上限であるナイキスト周波数は 5 cycles/mm です。0.6 cycles/mm はかなり太い縞、5 cycles/mm は 0.1 mm の細さにあたります。この2つを基準にしておくと、計算結果の桁がおかしいときにすぐ気づけます。

MTF：縞のコントラストが、どれだけ残るか

MTFの意味MTFの意味を示した図。同じシステムに細かさの違う縞を入れると、0.5サイクル毎ミリメートルではMTFが0.94でほとんど振幅が保たれ、2サイクル毎ミリメートルではMTFが0.40で振幅が4割に減り、4サイクル毎ミリメートルではMTFが0.03でほとんど平坦になる。MTF曲線は空間周波数ゼロで必ず1をとり、周波数が上がるほど下がる。MTFは出力の振幅を入力の振幅で割った比であり、平均10で振幅3の正弦波を2サイクル毎ミリメートルで入れると出力の振幅は3掛ける0.4で1.2となる。平均値は10のまま変わらず、MTFが効くのは振幅だけなので、計算に平均10は使わない。MTF：その細かさの縞が、どれだけコントラストを保って出てくるか細かい縞ほど振幅がつぶれる。その「残り具合」を周波数ごとに並べたものが MTF同じシステムに、細かさの違う縞を入れる0.5 cycles/mm　MTF ＝ 0.942.0 cycles/mm　MTF ＝ 0.404.0 cycles/mm　MTF ＝ 0.03灰の点線 ＝ 入力　　緑の実線 ＝ 出力MTF 曲線1.00.40025空間周波数（cycles/mm）MTF ＝ 出力の振幅 ÷ 入力の振幅MTF(0) は必ず 1。空間周波数が上がるほど下がっていく平均 10・振幅 3 の正弦波（2 cycles/mm）→ 出力の振幅 ＝ 3 × 0.4 ＝ 1.2平均は 10 のまま。MTF が効くのは振幅（変調）だけで、計算に「平均 10」は使わない
MTF は出力の振幅を入力の振幅で割った比。細かい縞ほど振幅がつぶれる。平均の明るさは変わらないので、計算に平均値は使わない。

MTF の定義はひとことで書けます。

MTF(u)=出力の振幅入力の振幅\mathrm{MTF}(u)=\frac{\text{出力の振幅}}{\text{入力の振幅}}

ある空間周波数 uu の正弦波（縞）をシステムに入れたとき、振幅（明暗の差）が何割残って出てくるかの比です。性質は3つ覚えれば足ります。

  • 空間周波数がゼロ、つまり一様な面のときは、MTF は必ず 1
  • 周波数が上がるほど縞はつぶれ、MTF は下がっていく
  • 比なので無次元。単位は付かず、0 から 1 の値をとる

ここで最も落としやすいのが、MTF が効くのは振幅だけで、平均の明るさ（直流成分）は変わらないという点です。

たとえば、平均 10・振幅 3 の正弦波（2 cycles/mm）を、その周波数での MTF が 0.4 のシステムに入れたとします。出力の振幅は

3×0.4=1.23 \times 0.4 = 1.2

で、平均は 10 のままです。計算に「平均 10」は一切使いません。問題文に平均値がわざわざ書いてあるのは、使わせるためではなく、迷わせるためです。

MTF の測り方は3つある

エッジ法によるMTFの求め方エッジ法でMTFを求める手順を4段階で示した図。第1に金属エッジを撮影する。画像の左半分は金属があって暗く、右半分は金属がなくて明るく、その境界だけがわずかになまっている。第2にその画素値の並びからESFすなわちエッジ広がり関数を得る。第3にESFを微分してLSFすなわち線広がり関数にする。第4にLSFをフーリエ変換し絶対値をとってMTFを得る。ESFをそのままフーリエ変換してはいけない。MTFはLSFのフーリエ変換の絶対値であり、2乗したパワースペクトルを扱うのはノイズ側のNPSである。トレンド補正をかけるのはLSFのほうである。エッジ法：エッジ画像 → ESF → LSF → MTF4段階。どの段で何をするかがそのまま出題される境界金属あり金属なし画素値位置応答位置MTF空間周波数① 金属エッジを撮る境界のなまりを画像にする② ESF を得るエッジ広がり関数③ 微分して LSF線広がり関数④ フーリエ変換して MTF絶対値をとる順番を飛ばさないことESF をそのままフーリエ変換してはいけない。必ず微分して LSF にしてからMTF は LSF のフーリエ変換の絶対値。2乗（パワースペクトル）を扱うのはノイズ側の NPSトレンド補正（裾のゆるい傾きを取り除く処理）をかけるのは LSF のほう
エッジ法はエッジ画像 → ESF → 微分して LSF → フーリエ変換して MTF の4段階。ESF をそのままフーリエ変換してはいけない。

MTF を実測する方法は、大きく3つあります。

矩形波チャート法は、解像力チャート（白黒の縞）を撮って、縞ごとのコントラストを読む方法です。手軽ですが、得られるのは正確には MTF ではなく CTF（矩形波応答関数）です。矩形波は同じ振幅の正弦波よりも基本周波数成分が大きいため、CTF は MTF より高い値になります。厳密な MTF に直すには Coltman の式で補正します。

スリット法は、幅 10 µm 程度のごく細い金属スリットを撮る方法です。細い線に対する応答そのもの、つまり LSF が直接得られるのが長所で、微分の段階が要りません。ただし通ってくる光量が少ないのでノイズに弱く、設置の角度合わせもシビアです。

エッジ法は、鋭い直線の境界を持つ金属エッジを撮る方法です。現在の標準的なやり方で、流れは次の4段階になります。

  1. 金属エッジを撮影する
  2. 境界をまたぐ画素値の並びから ESF（Edge Spread Function、エッジ広がり関数）を得る
  3. ESF を微分して LSF（Line Spread Function、線広がり関数）にする
  4. LSF をフーリエ変換し、その絶対値をとって MTF を得る

この4段階について、試験では次の3点が繰り返し狙われます。

  • ESF をそのままフーリエ変換してはいけない。必ず微分して LSF にしてからです
  • MTF は LSF のフーリエ変換の絶対値であって、2乗ではありません。2乗（パワースペクトル）を扱うのは、ノイズ側の指標である NPS（ウィナースペクトル）のほうです
  • トレンド補正（裾のゆるやかな傾きを取り除く処理）をかけるのは LSF です。ESF にかけると書いてあれば誤りです

プリサンプルド MTF：なぜ「わずかに傾ける」のか

プリサンプルドMTFでエッジを傾ける理由プリサンプルドMTFの測定でエッジをわずかに傾ける理由を示した図。左は画素列と平行に置いた失敗例で、どの行でもエッジは画素に対して同じ位置に来るため、1画素ぶんを拡大して見ると5行ぶんの標本点が全部ひとつに重なってしまい、標本点は画素間隔のままで細かくならない。右はわずかに傾けた正しい例で、行ごとにエッジの位置が少しずつずれるため、1画素ぶんを拡大すると5行ぶんの標本点が画素の間に並び、実効的に細かい標本化になる。傾ける角度は2度から3度で、15度では傾けすぎである。画素列と平行にすると失敗し、高空間周波数でMTFが見かけ上上昇する。エッジ法でもスリット法でも傾ける理由は同じである。図は分かりやすさのため誇張している。プリサンプルド MTF：なぜ「わずかに傾ける」のか傾けると行ごとに位置がずれ、画素の間を埋めるように細かく測れる画素列と平行に置くと（失敗）1画素ぶんを拡大5行ぶんが、全部ここに重なるわずかに傾けると（正しい）1画素ぶんを拡大5行ぶんが、画素の間に並ぶ傾ける角度は 2〜3 度。15 度では傾けすぎ平行 → 標本点は画素間隔のまま　　傾ける → 画素の間が埋まり、実効的に細かい標本化になる画素列と平行にすると失敗し、高空間周波数で MTF が見かけ上「上昇」するエッジ法でもスリット法でも、わずかに傾ける理由はまったく同じ※ 上の図は分かりやすさのため、傾きも画素間の広がりも誇張している。実際の傾きは肉眼ではほとんど分からない
画素列と平行に置くと、どの行も同じ位置になって細かく測れない。2〜3 度だけ傾けると、行ごとに位置がずれて画素の間が埋まる。

デジタルシステムには、アナログにはない制約があります。画素の間隔でしか値を読めないことです。

画素間隔が 0.1 mm のシステムで、エッジを画素列と平行に置いて撮ったとしましょう。すると、どの行を見てもエッジは画素に対してまったく同じ位置に来ます。何行ぶん集めても ESF の標本点は 0.1 mm 刻みのままで、それより細かくはなりません。

そこで、エッジを画素列に対して 2〜3 度だけ傾けます。すると行ごとにエッジの位置がほんの少しずつずれるので、全行を重ね合わせたときに、画素の間を埋めるように細かい標本点が手に入ります。これがオーバーサンプリングで、こうして求めた「標本化の影響を受ける前の特性」を プリサンプルドMTF と呼びます。

角度の数字はそのまま問われます。2〜3 度です。15 度では傾けすぎで、エッジが斜めに長く写ってしまい、かえって扱いにくくなります。

逆に、平行に置いてしまうと測定は失敗します。第78回 午後 問95 がまさにこれで、スリット法でスリットの長軸を画素列と平行にしたために、高空間周波数で MTF が見かけ上、上昇しました。オーバーサンプリングが成立せず、折り返し成分が MTF に混ざり込むためです。

MTF が高周波で上がった、と書いてあったら測定ミスを疑う。これは強力な当たりをつけ方です。MTF は本来、周波数が上がれば下がる一方の量なので、途中で上がることは物理的に起こりません。

デジタル MTF とエリアシング

ナイキスト周波数と折り返しデジタルMTFに折り返しが加わるようすを示したグラフ。横軸は空間周波数で0から10サイクル毎ミリメートル、縦軸はMTFである。標本化間隔0.1ミリメートルのとき標本化周波数は10サイクル毎ミリメートル、ナイキスト周波数は5サイクル毎ミリメートルになる。緑の実線はプリサンプルドMTFでシステム本来の特性を表し、ナイキスト周波数を超えても値を持つ。灰色の破線はナイキスト周波数を超えた成分が折り返してきたもので、低い周波数側に紛れ込む。赤の実線はその両者を足したデジタルMTFで、実際に得られる特性である。ナイキスト周波数の付近ではデジタルMTFがプリサンプルドMTFより高くなる。ナイキスト周波数は1を2掛ける標本化間隔で割って求める。プリサンプルドMTFは標本化の前、デジタルMTFは折り返しが足された後なので、両者は一致しない。デジタル MTF は「折り返し」が足されたものナイキスト周波数を超えた成分は消えず、低い周波数側に紛れ込むナイキスト周波数 5 cycles/mm1.000510空間周波数（cycles/mm）この範囲は記録できないプリサンプルド MTF（本来の特性）折り返してくる成分デジタル MTF（実際に得られる）ナイキスト周波数 ＝ 1 ÷ ( 2 × 標本化間隔 )標本化間隔 0.1 mm → 標本化周波数 10 cycles/mm → ナイキスト周波数 5 cycles/mmプリサンプルド MTF ＝ 標本化の「前」　デジタル MTF ＝ 折り返しが足された「後」だから両者は一致しない。ここを同じものとして扱う選択肢は誤り
ナイキスト周波数 ＝ 1 ÷ (2 × 標本化間隔)。超えた成分は消えず、低周波側に折り返して混ざる。だからプリサンプルドMTFとデジタルMTFは一致しない。

標本化間隔を Δ\Delta とすると、

標本化周波数 fs=1Δ,ナイキスト周波数 fN=12Δ\text{標本化周波数}\ f_s=\frac{1}{\Delta}, \qquad \text{ナイキスト周波数}\ f_N=\frac{1}{2\Delta}

標本化間隔 0.1 mm なら、fs=10f_s = 10 cycles/mm、fN=5f_N = 5 cycles/mm です。

ナイキスト周波数を超える成分は、消えてなくなるのではありません。低い周波数側に折り返して紛れ込みます。これがエリアシング（折り返し）です。

ここから、2つの MTF を区別する必要が出てきます。

  • プリサンプルドMTF … 標本化の影響を受ける前の、システム本来の解像特性
  • デジタルMTF … そこに折り返し成分が足されたあとの、実際に得られる特性

この2つは一致しません。とくにナイキスト周波数の近くでは、折り返してきた成分が重なるぶん、デジタルMTFのほうが高く出ます。

第76回 午前 問93 の正解は、そのまま「デジタルMTFではサンプリングに伴うエリアシングの影響を受ける」でした。第75回 午前 問94 も、プリサンプルドMTFとデジタルMTFが別物であることを前提にした出題です（この問題は公式の正答値表で複数の選択肢が正答とされましたが、問われている考え方は上のとおりです）。

オーバーオール MTF は、各要素のかけ算

オーバーオールMTFオーバーオールMTFが各要素のMTFの積になることを示したグラフ。横軸は空間周波数で0から5サイクル毎ミリメートル、縦軸はMTFである。点線で示した各要素は、検出器の画素開口、焦点のボケ、散乱や画像処理などの3つで、5サイクル毎ミリメートルにおける値はそれぞれ約0.64、約0.47、約0.29である。太い実線はそれらの積であるオーバーオールMTFで、同じ周波数で約0.09まで下がる。かけ算なので、どれか1つの要素が悪いと全体がそこに引きずられる。各要素のMTFに影響されないという記述は誤りである。アナログMTFとアパーチャMTFの2つの積だけでは足りず、標本化や画像処理の影響も含んだものがオーバーオールMTFである。オーバーオール MTF は、各要素のかけ算だから、いちばん悪い要素が全体を決めてしまう検出器の画素開口焦点のボケ散乱・画像処理などオーバーオール MTF1.00012345空間周波数（cycles/mm）点線 ＝ 各要素　　太い実線 ＝ その積オーバーオール MTF ＝ 各要素の MTF の かけ算かけ算なので、どれか1つが悪いと全体がそこに引きずられる「各要素の MTF に影響されない」という選択肢は誤りアナログ MTF × アパーチャ MTF の2つだけでも足りない。標本化や画像処理の影響も含む
全体の MTF は各要素の MTF のかけ算。だからいちばん悪い要素が全体を決めてしまう。2つの積だけでは足りず、標本化や画像処理も含む。

撮影系には、焦点の大きさによるボケ、検出器の画素開口によるボケ、散乱線、画像処理と、いくつものボケ要因が直列につながっています。全体の MTF は

MTF全体(u)=MTF1(u)×MTF2(u)×⋯\mathrm{MTF}_{\text{全体}}(u)=\mathrm{MTF}_1(u)\times \mathrm{MTF}_2(u)\times \cdots

と、各要素の MTF のかけ算になります。ここから2つの性質が出てきます。

  1. 各要素の MTF に影響される。「オーバーオールMTFは構成要素のMTFに影響を受けない」という選択肢は誤りです
  2. いちばん悪い要素が全体を決めてしまう。ほかをどれだけ良くしても、0.2 を掛ければ結果は 0.2 以下にしかなりません

現場で「検出器を新しくしたのに、思ったほどシャープにならない」ということが起きるのは、たいていこの2番目が理由です。焦点サイズや散乱線対策など、いちばん足を引っ張っている要素を探すほうが効果があります。

もうひとつ、「オーバーオールMTF ＝ アナログMTF × アパーチャMTF」という選択肢は不足です。オーバーオールMTFには、標本化や画像処理の影響まで含まれます。

試験で問われやすいポイント

論点覚える形
空間周波数の数え方白1本＋黒1本で1組。1÷(2×線の幅)1 \div (2 \times \text{線の幅})
MTF の定義出力の振幅 ÷ 入力の振幅。無次元、MTF(0) ＝ 1
MTF の計算振幅だけに効く。平均値は使わない
エッジ法の順番ESF → 微分 → LSF → フーリエ変換 → MTF
MTF は何の変換かLSF のフーリエ変換の絶対値（2乗ではない）
トレンド補正かけるのは LSF
傾ける角度2〜3 度（15 度は傾けすぎ）
平行に置くと測定失敗。高周波で MTF が見かけ上 上昇する
ナイキスト周波数1÷(2×標本化間隔)1 \div (2 \times \text{標本化間隔})
デジタル MTFエリアシングの影響を受ける。プリサンプルドMTFとは別物
オーバーオール MTF各要素のかけ算。2つの積だけでは足りない

判断に迷ったときの当たりのつけ方を2つ。

  • MTF が高周波で上がっている と書かれていたら、物理的にありえないので測定ミスを疑う
  • 「〜のみである」「〜に影響を受けない」といった強い断定は、MTF の問題ではほぼ誤り

まとめ

  • 空間周波数は「1 mm に縞が何組入るか」。白1本＋黒1本で1組。選択肢の2倍の値は引っ掛け
  • MTF ＝ 出力の振幅 ÷ 入力の振幅。無次元で、MTF(0) は必ず 1。平均の明るさは変わらないので計算に使わない
  • 測定法は矩形波チャート法・スリット法・エッジ法の3つ。エッジ法が標準で、ESF → 微分 → LSF → フーリエ変換 → MTF の順を飛ばさない
  • プリサンプルドMTFは、エッジやスリットを 2〜3 度傾けて画素の間を埋めて測る。平行にすると失敗し、高周波で MTF が見かけ上 上昇する
  • ナイキスト周波数 ＝ 1 ÷ (2 × 標本化間隔)。超えた成分は折り返し、デジタルMTFはプリサンプルドMTFとは一致しない
  • オーバーオールMTFは各要素のかけ算。いちばん悪い要素が全体を決める

MTF は「信号がどれだけ伝わるか」を表す指標でした。画質を語るにはもう一方、ノイズがどれだけ乗るかが要ります。それが次の記事「ウィナースペクトル・NEQ・DQE」で扱うウィナースペクトルと、両者を組み合わせた NEQ・DQE です。

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