ウィナースペクトル・NEQ・DQE（ノイズの評価と検出量子効率）

前の記事「MTFの測り方」で扱った MTF は、信号がどれだけ伝わるかを表す指標でした。しかし画像の良し悪しは、それだけでは決まりません。信号がよく伝わっても、ノイズだらけなら小さな病変は見えないからです。

そこで必要になるのが、ノイズ側の指標と、信号とノイズを1本にまとめた指標です。順に、ウィナースペクトル → NEQ → DQE と積み上がっていきます。

国家試験では、この3つがセットで出ます。ウィナースペクトルの性質、NEQ の式の読み方、DQE の定義と計算の3点を押さえれば、ほぼ取りこぼしません。

ノイズは「量」だけでなく「粒の大きさ」でも違う

SD が同じでも、ざらつきの粗さが違えば見え方は変わる。ウィナースペクトルは、ノイズを粒の大きさごとに分けたもの。

ノイズの量は、ふつう SD（標準偏差）で表します。しかし SD は「どれくらいばらつくか」しか教えてくれません。

同じ SD でも、大きな斑点のようにざらつく画像と、細かい砂のようにざらつく画像があります。前者は低い空間周波数に、後者は高い空間周波数にノイズが集中しています。そして病変の見えやすさは、病変と同じくらいの大きさのノイズにいちばん邪魔されます。だから「粒の大きさ」まで知る必要があるわけです。

ウィナースペクトル（Wiener spectrum、WS）は、ノイズを空間周波数ごとに分けて表したものです。NPS（Noise Power Spectrum、ノイズパワースペクトル）もまったく同じものを指します。試験では両方の呼び名が出てくるので、別物だと思わないでください。

求め方は定義そのものが問われます。

\mathrm{WS}(u)=\left|\mathcal{F}\{\Delta D(x)\}\right|^{2}

つまり、濃度（画素値）のゆらぎをフーリエ変換し、その絶対値を2乗します。MTF が「LSF のフーリエ変換の絶対値」だったのに対し、WS は「ゆらぎのフーリエ変換の絶対値の2乗」です。2乗するのはノイズ側だけ、と覚えておくと取り違えません。

ウィナースペクトルの性質と、粒状性の中身

線量が少ないほど WS は大きくなる。値が大きい＝ノイズが多い＝検出能は悪い。量子モトルは全周波数域に広がる。

試験で問われる性質は、次の5つに集約されます。

次元は面積（mm²）。濃度の分散に面積を掛けた形になります。体積ではありません
値が大きいほどノイズが多く、低コントラスト信号の検出能は悪い。向きを逆にした選択肢が定番です
線量が少ないほど値は大きくなる。X線光子数が減れば量子ノイズが増えるからで、これも逆に書いた選択肢が出ます
求め方は濃度変動をフーリエ変換し、絶対値を2乗
量子モトルは全周波数域に広く分布する。高周波だけに出るのではありません

最後の項目は特に注意が要ります。粒状性（ざらつき）は、ひとつの原因で決まるものではなく、

量子モトル … X線光子の数そのもののゆらぎ（ポアソン分布）
構造モトル … 蛍光体の粒の並びのムラ
フィルム粒状 … 銀粒子のムラ

の足し算です（デジタル系ではこれに電気系ノイズが加わります）。ふつう主役は量子モトルで、これは全周波数域に広がります。高周波でとくに目立ってくるのは、構造モトルやフィルム粒状のほうです。

NEQ：信号とノイズを1本にまとめる

NEQ ∝ MTF² ÷ WS。MTF は2乗で効くので、ノイズの少なさだけでは MTF の悪さを取り返せない。

MTF（信号）と WS（ノイズ）が別々にあっても、「結局どちらの装置がいいのか」は決まりません。そこで両方を1本にまとめたのが NEQ（Noise Equivalent Quanta、雑音等価量子数）です。階調度 $\gamma$ が一定のとき、

\mathrm{NEQ}(u)\ \propto\ \frac{\left[\mathrm{MTF}(u)\right]^{2}}{\mathrm{WS}(u)}

MTF が高く、WS が低いほど NEQ は大きくなります。ここで決定的なのは、MTF が2乗で効くことです。

上の図で確かめてみましょう。3 cycles/mm でシステム A と B を比べます。

	MTF	WS	NEQ ＝ MTF² ÷ WS
システム A	0.60	0.40	0.36 ÷ 0.40 ＝ 0.90
システム B	0.30	0.12	0.09 ÷ 0.12 ＝ 0.75

B のノイズは A の3分の1以下なのに、勝つのは A です。もし MTF を2乗しなければ、 $0.60 \div 0.40 = 1.5$ と $0.30 \div 0.12 = 2.5$ で B が勝ってしまいます。2乗するかしないかで答えがひっくり返る、それくらい MTF の寄与が大きいということです。

グラフから選ぶ問題では、手順を固定してしまうのが安全です。

高周波側だけを見る（低周波はどの装置も似た値になるため、差がつかない）
MTF が高いものを残す（2乗で効くので優先）
その中で WS が低いものを選ぶ

DQE：入ってきた情報を、どれだけ使えたか

DQE ＝ SNR(out)² ÷ SNR(in)²。入力側の SN 比の2乗はそのまま光子数 N。無次元で、理論上の最大は 1。

DQE（Detective Quantum Efficiency、検出量子効率）は、入ってきた情報のうち、どれだけを無駄なく画像にできたかを表す効率です。

\mathrm{DQE}(u)=\frac{\mathrm{SNR}_{out}^{2}(u)}{\mathrm{SNR}_{in}^{2}(u)}

計算で鍵になるのは、入力側の SN 比の扱いです。X線光子の数はポアソン分布に従うので、光子数を $N$ とすると標準偏差は $\sqrt{N}$ 、したがって

\mathrm{SNR}_{in}=\frac{N}{\sqrt{N}}=\sqrt{N} \qquad\Longrightarrow\qquad \mathrm{SNR}_{in}^{2}=N

入力側の SN 比を2乗すると、そのまま光子数 N になる。ここさえ覚えていれば、計算問題は一瞬で解けます。

たとえば 1 mm² あたりの入射光子数が 1,000 個、出力画像の SNR が 20 だったとすると、

\mathrm{DQE}=\frac{20^{2}}{1{,}000}=\frac{400}{1{,}000}=0.4

入ってきた光子の情報のうち、4割しか画像に生かせていないという意味になります。

性質も押さえておきましょう。

無次元。SN 比の2乗どうしの比なので、単位は付きません
理論上の最大は 1。入射した光子の情報を一切失わない理想の検出器がこれにあたります。現実の装置は 0.2〜0.7 程度です
DQE ＝ NEQ ÷ 入射光子数。掛け算ではなく割り算です
空間周波数ごとに変わる関数です。ひとつの数字ではありません
したがって、同じ DQE の値でも解像特性が等しいとは限りません。DQE は MTF と WS の両方を含んでいるので、MTF が高くノイズも多い装置と、MTF が低くノイズも少ない装置が、同じ DQE になりうるからです

試験で問われやすいポイント

論点	覚える形
WS の別名	NPS・ノイズパワースペクトルと同じもの
WS の求め方	濃度変動をフーリエ変換 → 絶対値を2乗
WS の次元	面積（mm²）。体積ではない
WS と線量	線量が少ないほど大きくなる
WS と検出能	値が大きいほど悪い
量子モトル	全周波数域に広く分布する
粒状性の中身	量子モトル＋構造モトル＋フィルム粒状
NEQ	$\mathrm{MTF}^2 \div \mathrm{WS}$ に比例。MTF は2乗で効く
DQE	$\mathrm{SNR}_{out}^2 \div \mathrm{SNR}_{in}^2$ 。無次元、最大 1
入力側の SN 比	$\mathrm{SNR}_{in}^2 = N$ （光子数そのもの）
DQE と NEQ	DQE ＝ NEQ ÷ 入射光子数

「2乗」がどこに出てくるかを整理しておくと、混乱しません。

MTF … LSF のフーリエ変換の絶対値（2乗しない）
WS … ゆらぎのフーリエ変換の絶対値の2乗
NEQ … 分子の MTF を2乗
DQE … 分子・分母とも SN 比を2乗

まとめ

ノイズは量（SD）だけでなく粒の大きさでも違う。それを周波数ごとに分けたのがウィナースペクトルで、NPS とまったく同じもの
WS は濃度変動をフーリエ変換して絶対値を2乗。次元は面積、線量が少ないほど大きく、値が大きいほど検出能は悪い
量子モトルは全周波数域に広がる。粒状性は量子モトル・構造モトル・フィルム粒状の足し算
NEQ ∝ MTF² ÷ WS。MTF が2乗で効くので、ノイズの少なさだけでは MTF の悪さを取り返せない
DQE ＝ SNR(out)² ÷ SNR(in)²。入力側の SN 比の2乗は光子数 N そのもの。無次元で最大は 1、現実は 0.2〜0.7 程度
DQE ＝ NEQ ÷ 入射光子数。割り算であって掛け算ではない

ここまでで、画質の物理評価（MTF・WS・NEQ・DQE）がひととおりそろいました。次は、そもそもアナログの像をデジタルの数値に変えるときに何が起きるのか、標本化と量子化に進みます。